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証明は難しい?
今回は中学生の数学で苦手な生徒が多い証明分野の解説です。
まずは【文字と式】の分野の証明について解説していきます。
難しいという生徒が多いのですが、実は1つのパターンに当てはめていけば
スラスラと証明が書けるようになります。
難しいと思っている生徒はこのパターンを知らないことがほとんどですので、
ここでしっかり身につけていきましょう!
まずは【文字と式】の分野の証明について解説していきます。
難しいという生徒が多いのですが、実は1つのパターンに当てはめていけば
スラスラと証明が書けるようになります。
難しいと思っている生徒はこのパターンを知らないことがほとんどですので、
ここでしっかり身につけていきましょう!
証明の書き方
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まず、証明の書き方の手順を紹介します。
この手順をしっかり守って証明を書いていきましょう。
1、使う文字を定義する
2、問題文にある数を文字で表す
3、問題の指示に従って計算する
4、結論の形に式を変形する
ほとんどの問題はこれで大丈夫です。
では1つ1つ見ていきましょう。
この手順をしっかり守って証明を書いていきましょう。
1、使う文字を定義する
2、問題文にある数を文字で表す
3、問題の指示に従って計算する
4、結論の形に式を変形する
ほとんどの問題はこれで大丈夫です。
では1つ1つ見ていきましょう。
数式の証明
例えば、次のような問題
「2つの奇数の和は偶数となることを証明せよ」
よく見る問題ですね。注意点がいくつかありますので、
そこに気を付けながら手順に従って証明していきましょう。
「2つの奇数の和は偶数となることを証明せよ」
よく見る問題ですね。注意点がいくつかありますので、
そこに気を付けながら手順に従って証明していきましょう。
1、使う文字を定義する 2、問題文にある数を文字で表す
ここでは「2つの奇数」を表す必要があります。
数字が2個あるので、文字を2つ用意しましょう。
奇数は(2n+1)や(2nー1)と表せますね。
このとき、注意点は2つあります。
まず、その文字は「整数」であること。
次に「連続する~」であれば、文字は1つにすること。
文字が整数でないと、(2n+1)は分数や小数になりえます。
また、「連続する~」では文字が1文字でないと、
連続していないことになってしまいます。
以上のことから、今回は
「m、nを整数とすると、2つの奇数は2m+1、2n+1と表せる」
となります。
数字が2個あるので、文字を2つ用意しましょう。
奇数は(2n+1)や(2nー1)と表せますね。
このとき、注意点は2つあります。
まず、その文字は「整数」であること。
次に「連続する~」であれば、文字は1つにすること。
文字が整数でないと、(2n+1)は分数や小数になりえます。
また、「連続する~」では文字が1文字でないと、
連続していないことになってしまいます。
以上のことから、今回は
「m、nを整数とすると、2つの奇数は2m+1、2n+1と表せる」
となります。
3、問題の指示に従って計算する
文字を定義し、表したので、次は実際に計算していきましょう。
問題には「2つの奇数の和」とありますね。
「和」とは加法(足し算)の結果のことでしたね。
では実際に足しましょう。
「これらの奇数の和は
(2m+1)+(2n+1)
=2m+2n+2」
となりますね。
文字が異なるので文字の計算は出来ないので注意しましょう。
問題には「2つの奇数の和」とありますね。
「和」とは加法(足し算)の結果のことでしたね。
では実際に足しましょう。
「これらの奇数の和は
(2m+1)+(2n+1)
=2m+2n+2」
となりますね。
文字が異なるので文字の計算は出来ないので注意しましょう。
4、結論の形に式を変形する
ここまでくればあと少し、最後の仕上げです。
問題の結論は「偶数となる」ですね。
偶数は2の倍数です。
つまり、「2×(整数)」と変形させましょう。
注意点は先ほどと同じく(整数)であることです。
*補足
問題の結論が3の倍数なら「3×(整数)」としましょう。
では、先ほどの和を変形させます。
「2m+2n+2
=2(m+n+1)
(m+n+1)は整数なので、2(m+n+1)は偶数である。」
これで結論を示せましたね。
問題の結論は「偶数となる」ですね。
偶数は2の倍数です。
つまり、「2×(整数)」と変形させましょう。
注意点は先ほどと同じく(整数)であることです。
*補足
問題の結論が3の倍数なら「3×(整数)」としましょう。
では、先ほどの和を変形させます。
「2m+2n+2
=2(m+n+1)
(m+n+1)は整数なので、2(m+n+1)は偶数である。」
これで結論を示せましたね。
最後に問題文を書く
証明はここまでで終了していますが、
最後に問題文を書きましょう。
これで証明は完成です。
【証明】
m、nを整数とすると、2つの奇数は2m+1、2n+1と表せる。
これらの奇数の和は
(2m+1)+(2n+1)
=2m+2n+2
=2(m+n+1)
(m+n+1)は整数なので、2(m+n+1)は偶数である。
よって、2つの奇数の和は偶数となる。
書き方はわかりましたか?
次の類題を証明して見ましょう。
「連続する3つの偶数の和は6の倍数になる」
最後に問題文を書きましょう。
これで証明は完成です。
【証明】
m、nを整数とすると、2つの奇数は2m+1、2n+1と表せる。
これらの奇数の和は
(2m+1)+(2n+1)
=2m+2n+2
=2(m+n+1)
(m+n+1)は整数なので、2(m+n+1)は偶数である。
よって、2つの奇数の和は偶数となる。
書き方はわかりましたか?
次の類題を証明して見ましょう。
「連続する3つの偶数の和は6の倍数になる」
「連続する3つの偶数の和は6の倍数になる」
この問題は「連続する~」とありますね。
注意点を覚えていますか?
【連続する~は1文字で証明】です。
では、解答はこちらになります。
注意点を覚えていますか?
【連続する~は1文字で証明】です。
では、解答はこちらになります。
解答
【証明】
nを整数とすると、連続する3つの偶数は
2n、2n+2、2n+4と表せる。
これらの和は
(2n)+(2n+2)+(2n+4)
=6n+6
=6(n+1)
(n+1)は整数より、6(n+1)は6の倍数である。
よって、連続する3つの偶数の和は6の倍数である。
補足
・文字はnじゃなくてもOK。
・3つの偶数を(2nー2)、2n、(2n+2)としてもよい。
この場合の和は6nとなる。
nを整数とすると、連続する3つの偶数は
2n、2n+2、2n+4と表せる。
これらの和は
(2n)+(2n+2)+(2n+4)
=6n+6
=6(n+1)
(n+1)は整数より、6(n+1)は6の倍数である。
よって、連続する3つの偶数の和は6の倍数である。
補足
・文字はnじゃなくてもOK。
・3つの偶数を(2nー2)、2n、(2n+2)としてもよい。
この場合の和は6nとなる。
まとめ
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いかがだったでしょうか。
証明の書き方のパターンは身につきましたか?
最後にもう一度まとめておきます。
1、使う文字を定義する
2、問題文にある数を文字で表す
3、問題の指示に従って計算する
4、結論の形に式を変形する
注意点
1、文字は整数である
2、連続する~は1文字
3、最後に問題文を書く
あとはたくさん練習するのみ!
頑張りましょう!
証明の書き方のパターンは身につきましたか?
最後にもう一度まとめておきます。
1、使う文字を定義する
2、問題文にある数を文字で表す
3、問題の指示に従って計算する
4、結論の形に式を変形する
注意点
1、文字は整数である
2、連続する~は1文字
3、最後に問題文を書く
あとはたくさん練習するのみ!
頑張りましょう!
鹿児島県霧島市で学習塾をお探しの方へ
最後になりますが、この記事を書いているのは
鹿児島県霧島市にある「北辰塾」の塾長です。
現在も私立中・高で現役の数学教師として教壇に立っています。
北辰塾では単なる暗記ではなく、しっかりと「なぜそうなるのか?」ということを
意識して指導を行っています。
興味のある生徒、親御さんは一度、当塾へご連絡してください。
みなさんと一緒に勉強できるのを楽しみにお待ちしています。
鹿児島県霧島市にある「北辰塾」の塾長です。
現在も私立中・高で現役の数学教師として教壇に立っています。
北辰塾では単なる暗記ではなく、しっかりと「なぜそうなるのか?」ということを
意識して指導を行っています。
興味のある生徒、親御さんは一度、当塾へご連絡してください。
みなさんと一緒に勉強できるのを楽しみにお待ちしています。